phpMyAdminを使用したデータベース（以下DB）のインポート/エクスポートの方法について、解説しています。
以下はWordPressのDBを例にしていますが、WordPress以外のDBでも操作は同じです。

サーバーのphpMyAdminにログインする

phpMyAdminのURLにアクセスし、管理画面にログインします。

補足

提供されているphpMyAdminのバージョンにより若干画面の違いはありますが、以下の操作はすべて同じです。

一般的なレンタルサーバーであれば、phpMyAdminはおおむね提供されています（サーバーのコントロールパネルからリンクされているかと思います）
ログインは「データベースのユーザー名（ID）」と「パスワード」で可能です。

DBのエクスポートについて

1. 左メニューからエクスポートするDBを選択し、右側上部「エクスポート」タブをクリック

2. 以下が選択された状態で、画面下部の「エクスポート」ボタンを押す

• エクスポート方法：詳細
• テーブル：必要なものにチェック（基本的にはすべて選択された状態でOK）
• 出力：出力をファイルに保存する

補足①

上記以外の項目は、基本的にデフォルトの状態のままでOKです。
サーバーによって一度にインポート（アップロード）できるDBの容量が違います。エクスポートしたDBのサイズがインポートできるサイズよりも大きい場合は、「テーブル」のチェック項目を小分けにしてエクスポートしてください。

補足②

なお、管理画面から登録する画像やアセットファイルそのものは直接サーバーの所定のフォルダにアップロードされるため、別途FTPソフトなどでサーバーからダウンロードする必要があります。
WordPressの場合、/wp-content/uploadsがそのフォルダです。

DBのインポートについて

1. 左メニューからエクスポートするDBを選択し、右側上部「インポート」タブをクリック

2. インポートするファイルを選んで、「インポート」ボタンを押す

3. DBが正常にインポートされると、以下の表示が出ます。

注意

インポートするDBに同じテーブルのデータが残っていると、正常にインポートされません（エラーになります）
その場合、インポート前にあらかじめ該当のテーブルデータを削除します。

1. 左メニューから該当のDBを選択し、右側上部「構造」タブをクリック
2. テーブルを個別あるいは全選択し、プルダウンメニューから「データまたはテーブルの削除」を選択し、実行ボタンを押す

3. 以下最終確認の画面が出るので、確認の上「はい」を押す。

4. 「構造」タブをクリックし、テーブルが削除されていることを確認する